Abstract

We consider PMC surfaces in complex space forms, and discuss about the interaction between the notions of PMC, totally real and biconservative. We will see that PMC surfaces in a non-flat complex space form are biconservative if and only if totally real. Then, we will present a Simons type formula for a well-chosen vector field constructed from the mean curvature vector field and then a rigidity result for CMC biconservative surfaces in 2-dimensional complex space forms. We will also present a reduction of codimension result for PMC biconservative surfaces in non-flat complex space forms. We conclude by constructing examples of CMC non-PMC biconservative submanifolds from the Segre embedding, and discuss when they are proper-biharmonic.